Problemas Introductorios

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• Tabla de Respuestas

Problema 52. Yo salí de mi casa en automóvil a las 8:00 de la mañana. Un automóvil que va al doble de mi velocidad sale también de mi casa, me alcanza exactamente a la mitad del camino y llega 1:30h antes que yo a nuestro lugar de destino. ¿A qué hora salió el otro automóvil?
 

Problema 53. Un poliedro en forma de balón de futbol tiene 32 caras: 20 son hexágonos regulares y 12 son pentágonos regulares. ¿Cuántos vértices tiene el poliedro?

Problema 54. Dadas cuatro líneas diferentes, ¿cuántos puntos de intersección NO puede haber entre ellas?
 

Problema 55. ¿Cuál es la longitud de x en la figura?

(a)

(b)

(c) 9

(d) 12

(e) 18

Problema 56. Si S = 1 + 2 + 3 + ... + 100, ¿cuántos signos + hay que cambiar por signos - para obtener 1991 en lugar de S?
 

Problema 57. Cinco amigos P,Q,R,S y T se dan la mano. Tanto P como Q estrecharon la mano de uno solo de sus amigos, mientras que R, S y T estrecharon cada uno la mano de dos. Sabemos que P estrechó la mano de T. ¿Quiénes podemos asegurar que no se dieron la mano?
 

Problema 58. En un concurso de baile los jueces califican a los competidores con números enteros. El promedio de las calificaciones de un competidor es 5.625 ¿Cuál es el número mínimo de jueces para que eso sea posible?
 

Problema 59. Una caja que compró mamá está llena de chocolates en forma de cubo. Sara se comió todos los del piso de arriba, que eran 77. Después se comió 55, que eran los que quedaban en un costado. Después se comió los que quedaban enfrente. Sobraron algunos chocolates en la caja; ¿cuántos?
 

Problema 60. La maestra distribuyó la misma cantidad de dulces entre cada uno de 5 niños y se quedó tres para ella misma. No se acuerda cuántos dulces tenía, pero se acuerda que era un múltiplo de 6 entre 65 y 100. ¿Cuántos dulces tenía?
 

Problema 61. Las siguientes figuras consisten en cubitos desdoblados. ¿Cuál de ellas corresponde a un cubo en el que cada dos regiones triangulares que comparten una arista son del mismo color?

Problema 62. En la figura los puntos P,Q,R y S y T dividen cada lado del rectángulo en razón 1:2. ¿Cuál es el cociente entre el área del paralelogramo PQRS y el área de ABCD?

Problema 63. Consideremos 48 canicas repartidas en tres montones A, B y C de manera que si del montón A pasamos al B tantas canicas como hay en el B, luego del B pasamos al C tantas canicas como hay en el C y del C pasamos al A tantas como existen ahora en el A, tendremos el mismo número de canicas en cada montón. ¿Cuántas canicas había al principio en el montón A?
 

Problema 64. El producto de tres enteros positivos es 1500 y su suma es 45. ¿Cuál es el mayor de esos tres números?
 

Problema 65. Se tienen dos círculos con centro en el mismo punto, pero cuyos perímetros difieren en 1 cm. ¿cuál es la diferencia entre sus radios?
 

(a)

(b)

(c) cm

(d)2 cm

(e)4 cm

Problema 66. Un zoológico tiene forma hexagonal con celdas que son triángulos equiláteros de lado 10, como en la figura. En este zoológico se quieren poner 1000 animales salvajes; por seguridad no puede haber dos animales en una misma celda y si una celda está ocupada ninguna de las que comparte un lado con ella puede estarlo. ¿Cuánto mide el lado del hexágono más chico que tiene esta propiedad?

Problema 67. Se escriben en sucesión todos los números del 1 al 2001, en orden, uno a continuación del otro, para formar un número muy grande que llamaremos G (es decir, G=1234567891011 ... 20002001) ¿Cuál es la cifra central de G?
 

Problema 68. La siguiente figura se forma a partir de un triángulo equilátero de área 1 prolongando cada lado dos veces su longitud en ambas direcciones. El área de esta figura es:
 

Problema 69. El resultado de la operación siguiente: 1-2-3+4+5-6-7+8+ ... -1998-1999+2000 es
 

(a)

(b)

(c) 2001

(d) 0

(e) 2

Problema 70. Una flor se ha dibujado dentro de un círculo manteniendo la misma apertura del compás, como se muestra en la figura. Si el perímetro de la flor es 2, ¿cuál es el radio del círculo?

(a)

(b)

(c)1/6

(d)2/3

(e)/8

Problema 71. ¿Cuántas parejas de enteros positivos (a,b) satisfacen a²-b²=15?
 

Problema 72. En la figura, ABCDE representa un pentágono regular (de 1 cm de lado) y ABP es un triángulo equilátero. ¿Cuántos grados mide el ángulo BCP?

Problema 73. El número -1 es solución de la ecuación de segundo grado 3x²+bx+c=0. Si los coeficientes b y c son números primos, el valor de 3c-b es:
 

Problema 74. Una sucesión se forma de la manera siguiente: el primer término es 2 y cada uno de los términos siguientes se obtiene del anterior elevándolo al cuadrado y restando 1 (los primeros términos son 2,2²-1=3, 3²-1=8, 8²-1=63, ... ). La cantidad de números primos que hay en la sucesión es:
 

Problema 75. El número de triángulos con sus tres vértices en los puntos de la figura es: