Problemas Introductorios

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Problema 126. ¿Cuántos triángulos hay en la figura?

Problema 127. El triángulo ABC es equilátero y sus lados AC y BC son tangentes al círculo cuyo centro es O y cuyo radio es <<Raíz de 3>> . El área del cuadrilátero AOBC es:

(a)

(b)

(c)

(d)

Problema 128. ¿Cuántas soluciones enteras tiene la ecuación: 2^3+x + 2^3-x = 65?
 
 

Problema 129. Los ángulos de un triángulo están en la razón 2 : 3 : 4, la suma de los dos ángulos menores es:
 
 

Problema 130. Se tienen 9 ciudades y se quieren construir carreteras entre pares de ellas de tal froma que sea posible viajar entre cualesquiera dos de ellas. ¿Cuál es el mínimo número de carreteras que se deben construir?
 
 

Problema 131. Arregla los números 5, 7, 11, 13, 17 y 23 en los siete círculos de la figura, de tal manera que la suma de los tres números en cada línea sea el mismo número primo. ¿Qué número queda al centro?

Problema 132. Si x² + 8x - 2 = 0. ¿Qué número representa la expresión x⁴ + 8x + 16x + 10?
 
 

Problema 133. Se tiene un cuadrado ABCD de lado igual a 8 y se dibuja un círculo que pasa a través de los vértices A y D, y es tangente al lado BC. El radio del círculo es:
 
 

Problema 134. Un comandante dispone su tropa formando un cuadrado y ve que le quedan 36 hombres. Entonces decide poner una fila y una columna más de hombres en dos lados consecutivos del cuadrado y se da cuenta que le faltan 75 hombres. ¿Cuántos hombres hay en la tropa?
 
 

Problema 135. ¿Cuál de las siguientes condiciones deben cumplir las medidas de los lados  x y y de una parcela rectangular de perímetro  fijo P de manera que la parcela tenga la mayor área posible?
 
 

Problema 136. Si ABCD es un cuadrado de lado 4, M es un punto sobre el segmento AB tal que AM es una cuarta parte de AB y P es la intersección de la diagonal DB y el segmento MC, ¿Cuánto mide PC?
 
 

Problema 137. Un hombre nació en el año x² y murió en el año y² (donde los números x, y son enteros positivos). Considera que murió en el día de su cumpleaños. Sabemos que vivió entre el año 1800 y el 2000. ¿Cuántos años vivió el hombre?
 
 

Problema 138. ¿Cuánto vale la suma de u + v + w, en la siguiente figura?

Problema 139. Si (6!)(7!) = n!, ¿Cuánto vale n? (n! = 1 · 2 · 3... · (n-1) · n)
 
 

Problema 140. Los niños A, B y C tomaron 13 dulces de una mesa, al final, A dijo: "tomé 2 dulces más que B", B dijo: "tomé la mitad de dulces que A y 5 menos que C", y finalmente C dijo: "tomé un número par de dulces". Si sabemos que a lo más uno de ellos mentía, ¿quien era este mentiroso?
 
 

Problema 141. En la siguiente figura, los segmentos AY y BX son perpendiculares a los segmentos BC y AC, respectivamente. Si el ángulo ABC mide 50º y el ángulo BAC mide 60º. ¿Cuánto mide el ángulo BTY?

Problema 142. En la siguiente figura, cuál es el área del triángulo ABC, si el área del hexágono regular es H?

Problema 143. Si (1 + ¹/_n ) (1 - ¹/_m) = 1 entonces m es igual a
 
 

(a) n - 1

(b) n + 1

(c) 2n

(d)

Problema 144. ¿De cuántas maneras distintas pueden colorearse los lados de un triángulo equilátero con cuatro colores distintos, si suponemos que un mismo color se puede emplear en lados distintos y que dos coloraciones son iguales si difieren en un giro del triángulo en el plano?
 
 

Problema 145. En la siguiente figura cada vértice puede tomar el valor 1 ó -1, ¿cuántos valores distintos puede tomar la suma A + B + C + D + E + F + ABCDEF?

Problema 146. La yerba en un prado crece con densidad y rapidez homogéneas. Sabiendo que 70 vacas consumen la yerba en 24 días y 30 vacas la comen en 60 días, ¿Cuántas vacas consumirán la yerba en 96 días?
 
 

Problema 147. Dado un punto cualquiera P en el interior de un triángulo equilátero de lado 6, consideremos las perpendiculares que van de P a cada uno de los lados del triángulo. Llamemos H₁, H₂ y H₃ al pie de las perpendiculares mencionadas. ¿Cuánto vale PH₁ + PH₂ + PH₃?
 
 

(a) 2

(b)

(c)

(d) 4

Problema 148. Un estratega francés de la segunda Guerra Mundial tiene el siguiente problema. La distancia (en línea recta) de Chálons a Vitry es de 30 Km. De Vitry a Chaumont 80 km, de Chaumont a St. Quetin 236 km, de St. Quetin a Reims 86  km, de Reims a Chálons de 40 km. ¿Cuál es la distancia en línea recta que hay entre Reims y Chaumont?
 
 

Problema 149. Se llena un recipiente con agua, la cantidad de agua vertida a cada instante en la misma. La siguiente gráfica muestra el nivel del agua en el recipiente durante el tiempo en que es llenado.

El segmento PQ es una línea recta. La forma del recipiente que corresponde a la gráfica es:
 
 

(a)

(b)

(c)

(d)

Problema 150. Si ABCD es un trapecio de bases AB = 8 y CD = 2 y sus diagonales se cortan en E, la razón del área del trapecio entre el área del triángulo ABE es: