Problemas Introductorios

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• Tabla de respuestas

Problema 176. La ecuación (a + b + c)(a + b + c) = 3ab la satisfacen los lados a, b , c, de un triángulo. ¿Cuál es la medida del ángulo opuesto al lado c?
 
 

Problema 177. De todos los números de 3 dígitos que son múltiplos de 3, ¿cuántos hay que tengan todos sus dígitos distintos de cero y distintos entre sí?
 
 

Problema 178. Cuántas veces aparece el factor 2 en las descomposición en primos de 1 + 2 + 3 + ... + 10¹¹?
 
 

Problema 179. De los números siguientes, el que tiene 81 divisores positivos es:
 
 

Problema 180. Si 2ⁿ - 1 es un múltiplo de 7, entonces n es:
 
 

Problema 181. S a, b, c, d son dígitos tales que d > c > b > a 0, ¿cuántos números de la forma 1a1b1c1d1 son múltiplos de  33?
 
 

Problema 182. La sucesión creciente 1, 3 , 4, 9, 10 , 12, 13, 27, 28, 30, 31, ... consiste de los enteros positivos que son potencia de 3 o suma de distintas potencias de 3. ¿Cuál es el número que está en el lugar 100?
 
 

Problema 183. Un punto P está fuera de un círculo, a una distancia 13 del centro. Una secante trazada desde P corta a la circunferencia en Q y R de tal manera que el segmento externo de la secante, PQ, mide 9 y QR mide 7. El radio del círculo es:
 
 

Problema 184. En la figura, ABC es un triángulo equilátero, sus lados tienen longitud 3 y PA es paralela a BC. Si PQ = QR = RS, la longitud de CS es:

(a)

(b) 1

(c)

(d)

Problema 185. ¿Cuál es el máximo número de ángulos internos rectos que puede tener un octágono?
 
 

Problema 186. Se tiene que llenar las siguiente cuadrícula con los números del 1 al 5, de tal forma que cada número aparezca únicamente una vez en cada columna y en cada renglón. ¿Cuál es el número que va en el centro de la cuadrícula?

Problema 187. Las raíces de la ecuación: a(b - c)x² + b(c - a)x + c(a - b) = 0 son 1 y:
 
 

Problema 188. Llegan 4 niños a una fiesta y hay 6 gorros; 3 verdes y  3 rojos. A cada niño se le coloca su gorro respectivo con los ojos vendados y se sientan en una mesa circular de forma que cada niño ve los gorros de los otros tres. Empezando con el niño 1 y en sentido de las manecillas del reloj a cada niño se le hace la pregunta:"¿Sabes ya de qué color es tu gorro?" Y todos escuchan la respuesta hasta que alguien contesta firmativamente. Además el primer niño dice que no. ¿Quién de estos niños es seguro que contestará afirmativamente?
 
 

Problema 189. Cien personas respondieron a un cuestionario formado por 3 preguntas. Cada pregunta debía contestarse, sí o no, y sólo una de estas respuestas era correcta. Si sabemos que:

    8    personas contestaron bien las tres preguntas
    9    personas contestaron bien sólo la primera y la segunda
    11  personas contestaron bien sólo la primera y la tercera
    6    personas contestaron bien sólo la segunda y la tercera
    55  personas contestaron bien al menos la primera pregunta
    32  personas contestaron bien al menos la segunda pregunta
    49  personas contestaron bien al menos la tercera pregunta

¿Cuántas personas respondieron mal a todas las preguntas?
 
 

Problema 190. La expresión algebráica x² + 9 se escribe en la forma a(x+1)² + b(x+1) + c.
¿Cuál es el valor de (a - b + c)?
 
 

problema 191. ¿Para qué entero positivo n se satisface la ecuación:

               ^{(1+3+5+..+(2n-1))}/_{(2+4+6+..+(2n))} = ¹⁹⁹⁹/₂₀₀₀ ?
 
 

Problema 192. ¿Cuántos números se pueden representar como suma de algunos de los números 1, 2, 4, 8, 16 donde cada número se escoge a los más una vez? (Por ejemplo el 11 se puede representar como 8 + 2 + 1). Las sumas con un sólo sumando están permitidas
 
 

Problema 193. Si (a,b) denota al máximo común divisor de a y b, el valor de (a⁴ - b⁴, a² - b²) es:
 

Problema 195. Considera 9 puntos sobre una circunferencia. ¿De cuántas maneras pueden ser divididos estos puntos en conjuntos de tres puntos, de tal manera que, ningún par de los triángulos determinados por estos subconjuntos se corten?
 
 

Problema 196. Considere 6 puntos sobre una circunferencia. ¿De cuántas maneras pueden ser estos puntos unidos por pares con 3 cuerdas que no se corten dentro del círculo?
 
 

Problema 197. Una mañana la Sra. Martínez, la Sra. Pérez, la Sra. Torres y la Sra. Gómez fueron  de compras. Cada una de ellas tenía que ir a dos tiendas distintas. Una de las mujeres tenía que visitar la tlapalería, dos tenían que ir al banco, dos tenían que ir al carnicero y tres tenían que ir a la tienda de abarrotes. Sus compras se simplificaban por el hecho de que vivían en un pequeño poblado y únicamente había una tienda de cada cosa y únicamente había un banco. Si
    1. Dora no fue a la tienda de abarrotes,
    2. tanto Esther como la Sra Gómez fueron al carnicero,
    3. Margarita llegó a casa con más dinero que cuando se fue,
    4. La Sra. Pérez no fue a ninguno de los lugares donde estuvieron Lucía y la Sra. Torres

¿Cuál es el apellido de Margarita?
 
 

Problema 198.  El número de posibles soluciones de la ecuación 3x + y + z = 23 donde x, y y z son enteros positivos es:
 
 

Problema 199. En una clase hay 25 alumnos. Entre ellos 17 alumnos son ciclistas, 13 nadadores y 8 esquiadores. Ningún alumno hace tres deportes. Los ciclistas, nadadores y esquiadores se sacaron 9 en matemáticas. Seis alumnos en la clase se sacaron 6 en matemáticas. ¿Cuántos nadadores saben esquiar?
 
 

Problema 200. Considera el menor entero positivo que al dividirlo entre 10 deja residuo 9, al dividirlo entre  9 deja residuo 8, al dividirlo entre 8 deja residuo 7, etc., hasta que al dividirlo entre 2 deja residuo 1. Al dividirlo entre 11 deja residuo: