Problemas Introductorios

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• Tabla de respuestas

Problema 151. ¿Cuántos enteros hay tales que 22n n² + 120?
 
 

Problema 152. Si los números  a, b, c satisfacen las siguientes igualdades:

¹/_a + ¹/_b + ¹/_c = 1,    ¹/_a - ¹/_b - ¹/_c = ¹/₃,   ¹/_a + ¹/_b - ¹/_c = 0,

entonces, a + 2b + 3c es igual a:
 
 

Problema 153. Si a, b, c, d, e son números positivos, tales que ab = 1, bc = 2, cd = 3, de = 4 y ea = 5, ¿Cuál es el valor de b?
 
 

(a)

(b)

(c)

(d)

Problema 154. Si las diagonales de un rombo difieren en 14 y sus lados miden 13, el área del rombo es:
 
 

(a) 156

(b) 120

(c)

(d)

Problema 155. Un contenedor de 5 litros se llena con jugo de naranja. Se le quitan 2 litros de jugo y se llena nuevamente con agua. Se mezcla muy bien y nuvemante se quitan 2 litros de mezcla y se vuelve a llenar con agua. ¿Qué porcentaje de jugo hay en la mezcla final?
 
 

Problema 156. Los números de seis dígitos ABCDEF donde los dígitos varían del 1 al 6 y son todos distintos, se llaman armoniosos si 1 divide a A, 2 divide a AB, 3 divide a ABC, 4 divide a ABCD, 5 divide a ABCDE, 6 divide a ABCDEF. ¿Cuántos números armoniosos hay de 6 dígitos?
 
 

Problema 157. Si A y B son números naturales y

    ^A/₇ + ^B/₅ = ³¹/₃₅

el valor de A es:
 
 

Problema 158. En un triángulo equilátero XYZ se dividen los lados en tres partes iguales. Llamemos a las divisiones A, B, C, D, E y F como se muestra en la figura. ¿Cuál es el área de la figura sombreada, si el área del triángulo XYZ es 18?

Problema 159. ¿Cuál es el número de lados de un polígono que tiene el triple número de diagonales que de lados?
 
 

Problema 160. Si n es un número entero, entonces n²(n²-1) siempre es divisible entre:
 
 

Problema 161. Un cubo se formó con 12 pedazos de alambre de longitud 1. Una hormiga parte de uno de los vértices y camina a lo largo de los lados. ¿Cuál es la distancia máxima que puede recorrer antes de regresar al vértice de donde partió y sin recorrer un lado dos veces?
 
 

Problema 162. Si (a + ¹/_a)² = 3, entonces a³ + ¹/a³ es igual a:
 
 

(a) 0

(b)

(c) 3

(d)

Problema 163. Los lados de un triángulo son 2, 3, x. Si el área también es x, ¿cuánto vale x?
 
 

(a)

(b) 3

(c) 2

(d) 1

Problema 164. En un cubo de lado 2, M, N, P y Q son puntos medios de las aristas mostradas. ¿Cuál es la distancia máxima entre un punto de MN y otro PQ?

(a)

(b)

(c)

(d)

Problema 165. La zoo-lógica.
En la selva, la hiena miente los lunes, martes y miércoles; la zorra miente los jueves, viernes y sábados. En los días que no mienten, dicen la verdad. Un día se encontraron la hiena y la zorra y sostuvieron este diálogo:
    Hiena: ¡Hola zorra! Ayer yo mentí,
    Zorra: ¡Hola hiena! Yo también mentí ayer.
¿En qué día sucedió este encuentro?
 
 

Problema 166. Se tiene un tetraedro regular y en cada una de las aras se trazan todas las bisectrices. ¿Cuántos puntos de intersección hay entre las 12 bisectrices?
 
 

Problema 167. Sea p(x) = x³ + ax + 1. Si p(1) = 1, ¿Cuál es el valor de p(2)?
 
 

Problema 168. El siguiente juego se efectúa entre dos jugadores: se colocan 13 fichas sobre la mesa y los jugadores tiran en forma alternada, cada tirada consiste en tomar 1, 2, 3 ó 4 fichas y gana el que se quede con la última ficha. ¿Cuántas fichas debe tomar el primer jugador en la primera tirada para asegurar su triunfo?
 
 

Problema 169. ¿Para cuántos valores enteros positivos de n la expresión ¹⁸/_n+4 es un entero?
 
 

Problema 170. Si m y n son enteros tales que 2m - n = 3, entonces m - 2n es igual a:
 
 

Problema 171. Una escalera tiene numerados los escalones como 0, 1, 2, 3, 4 ...
Una rana está en el escalón 0, salta cinco escalones hacia arriba hasta el escalón 5 y luego dos para abajo hasta el escalón 3, después sigue saltando alternando, cinco escalones para arriba y dos para abajo. La sucesión de escalones que pisa la rana es 0, 5, 3, 8, 6... ¿Cuál de los siguientes escalones no pisa la rana?
 
 

Problema 172. Sea ABC un triángulo isóceles tal que AB = AC, sean R, S y T las intersecciones de las alturas de A, B y C, respectivamente, con el circuncírculo como se muestra en la figura. ¿Cuál es el valor del ángulo RST?

(a) (A) + (B) / 2

(b) (A)

(c) (B)

(d) (C)

Problema 173. En la siguiente figura el área del triángulo chico es 8. El área del triángulo grande es:

Problema 174. Se forma un cono con un pedazo de papel semicircular, con radio de 10 (como se muestra en la figura). Encuentra la altura del cono.

(a)

(b)

(c)

(d)

Problema 175. En un cubo de lado 6 se inscribe un tetraedro regular de tal manera que los cuatro vértices de éste son también vértices del cubo. Calcula el volumen de dicho tetraedro.