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Décima Primera Olimpiada Nacional de
Matemáticas
Monterrey, Nuevo León, noviembre de 1997
Primer Día
Problema 1.
Encuentra todos los números primos positivos p tales que
8p4 - 3003 también sea un primo positivo.
Problema 2.
En un triángulo ABC sean P y P' sobre el
segmento BC, Q sobre el
segmento CA y R sobre el segmento AB, de tal forma
que
AR/RB = BP/PC =
CQ/QA = CP'/P'B. Sea
G el centroide de ABC y sea K el punto de
intersección de las
rectas AP' y RQ. Demostrar que los puntos P, G
y
K son
colineales.
Problema 3.
En una cuadrícula de 4 x 4 se van a colocar los
números enteros del 1 al 16 (uno en cada cuadrito).
(i) Prueba que es posible colocarlos de tal manera que los números
que aparezcan en cuadritos que comparten un lado tengan diferencia menor o
igual que 4.
(ii) Prueba que no es posible colocarlos de tal manera que los
números que aparezcan en cuadritos que comparten un lado tengan
diferencia menor o igual que 3.
Segundo Día
Problema 4.
Dados 3 puntos no alineados en el espacio, al único
plano que los contiene le llamamos plano determinado por los
puntos. ¿Cuál es el mínimo número de
planos determinados por 6 puntos en el espacio si no hay 3
alineados y no están los 6 en un mismo plano?
Problema 5.
Sean P, Q y R puntos sobre los lados de un
triángulo ABC con P en
el segmento BC, Q en el segmento AC y R en el
segmento BA, de tal manera
que si A' es la intersección de BQ con CR,
B' es la
intersección de AP con CR, y C' es la
intersección de AP
con BQ, entonces AB' = B'C', BC' = C'A' y
CA' = A'B'.
Calcular el cociente del
área de PQR entre el área de ABC.
Problema 6.
Probar que el número 1 se puede escribir de una infinidad de
maneras distintas en la forma
1=1/5+1/a1+...+1/an,
donde n y a1,a2,...,an son
enteros
positivos y 5<a1<a2<an.
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