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Primera Olimpiada Matemática de
Centroamérica y el Caribe
San José, Costa Rica, julio 8 y 9 de
1999
Primer Día
Problema 1.
Se supone que 5 personas conocen, cada una, informaciones
parciales diferentes sobre cierto asunto. Cada vez que la persona
A telefonea a la persona B, A le da a B toda
la información que conoce en ese momento sobre el asunto, mientras que
B no le dice a A nada de lo que él sabe.
- (a) ¿Cuál es el mínimo número de llamadas necesarias para que
todos lo sepan todo sobre el asunto?
- (b) ¿Cuántas llamadas son necesarias si son n
personas?
Problema 2.
Encuentra un entero positivo n de 1000 cifras, todas
distintas de cero, con la siguiente propiedad: es posible agrupar
las cifras de n en 500 parejas de tal manera que si multiplicamos
las dos cifras de cada pareja y sumamos los 500 productos
obtenemos como resultado un número m que es divisor de n.
Problema 3.
Las cifras de una calculadora (a excepción de 0) están
dispuestas en la forma indicada en la figura, donde
aparece también de la tecla "+":
Dos jugadores A y B juegan de la manera siguiente:
A enciende la calculadora y pulsa una cifra, y a continuación pulsa
la tecla "+". Pasa la calculadora a B, que pulsa una cifra
en la misma fila o columna que la pulsada por A que no sea la
misma que la última pulsada por A; a continuación pulsa + y le
devuelve la calculadora a A, que repite la operación y así
sucesivamente. Pierde el juego el primer jugador que alcanza o supera la
suma 31. ¿Cuál de los dos jugadores tiene una estrategia ganadora y
cuál es ésta?
Segundo Día
Problema 4.
En el trapecio ABCD de bases AB y CD, sea M el
punto medio del lado DA. Si el segmento BC mide a, el
segmento MC mide b y el ángulo MCB mide 150°,
¿Cuánto mide el área del trapecio ABCD en función de
a y b.
Problema 5.
Sea a un entero positivo impar mayor que 17, tal que 3a - 2
es un cuadrado perfecto. Demuestra que existen enteros
positivos distintos b y c tales que a + b, a +
c,b + c y a + b + c son cuatro cuadrados perfectos.
Problema 6.
Sea S un subconjunto de {1,2,3,...,1000} con la
propiedad de que ninguna suma de dos elementos diferentes en S
esté en S. Encuentre el número máximo de elementos de S.
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