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Tercera Olimpiada Matemática de
Centroamérica y el Caribe
Barranquilla, Colombia, julio 25 y 26 de
2001
Primer Día
Problema 1.
Dos jugadores A y B y otras 2001 personas forman un
círculo, de modo que A y B no quedan en posiciones
consecutivas. A y B juegan por turnos alternadamente
empezando por A. Una jugada consiste en tocar a una de las personas
que se encuentra a su lado, la cual debe salir del círculo. Gana el
jugador que logre sacar del círculo a su oponente.
Demostrar que unos de los dos jugadores tiene una estrategia ganadora
y describir dicha estrategia.
Nota: Un jugador tiene una estrategia ganadora si puede garantizar su
victoria sin importar como juegue su rival.
Problema 2.
Sea AB un diámetro de una circunferencia S con centro
O y de radio 1. Sean C y D dos puntos tales que
AC y BD se cortan en un punto Q situado en el
interior de S y AQB = 2COD. Sea P el punto de corte de las tangentes a
S que pasan por los puntos C y D.
Determinar la longitud del segmento OP.
Problema 3.
Encontrar todos los números naturales N que cumplan las dos
condiciones siguientes:
- Sólo dos de los dígitos de N son distintos de 0 y
uno de ellos es 3.
- N es un cuadrado perfecto.
Segundo Día
Problema 4.
Determinar el menor entero positivo n para el cual existan enteros
positivos a1, a2, ..., an, menores
o iguales que 15 y no necesariamente distintos, tales que los cuatro
últimos dígitos de la suma
a1! + a2!
+ ... + an!
sean 2001.
Problema 5.
Sean a,b y c números tales que la
ecuación ax2 + bx + c = 0 tiene dos soluciones
reales distintas p1,p2 y la
ecuación cx2 + bx + a = 0 tiene dos soluciones
reales distintas q1,q2. Se sabe que
los números p1,q1,
p2,q2 en ese orden, forman una
progresión aritmética. Demostrar que a + c = 0.
Problema 6.
Se marcan 10000 puntos sobre una circunferencia, y se numeran de 1 a 10000
en el sentido de las manecillas del reloj. Se trazan 5000 segmentos de
recta de manera que se cumplan las tres condiciones siguientes:
- Cada segmento une dos de los puntos marcados.
- Cada punto marcado pertenece a uno y sólo un segmento.
- Cada segmento intersecta exactamente a uno de los segmentos
restantes.
A cada segmento se le asocia el producto de los números asignados a
sus dos puntos extremos. Sea S la suma de los productos asociados a
todos los segmentos.
Demostrar que S es múltiplo de 4.
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