(i) Supongamos que ABCD es paralelogramo y sea O la intersección de las diagonales; entonces O es punto medio de AC y de BD (pues los triángulos AOD y COB son iguales por tener sus ángulos iguales y puesto que AD=BC). Entonces BO es mediana del triángulo ABC. Pero P divide a esta mediana en proporción 2:1, así que P es baricentro del triángulo, de donde AP es mediana y E es punto medio de BC. Por la misma razón F es punto medio de CD.

(ii) Ahora supongamos que E y F son los puntos medios de BC y CD, respectivamente, pero que ABCD no es paralelogramo. Sea C' el punto tal que ABC'D es paralelogramo y sean E' y F' los respectivos puntos de intersección de AP con BC' y de AQ con DC', como se muestra en la figura.

Por el inciso anterior, E' es punto medio de BC', así que los triángulos BC'C y BE'E son semejantes en proporción 2:1 (tienen dos lados en esta razón y el ángulo comprendido entre ellos es el mismo); entonces tenemos que E'E y C'C son paralelas. Análogamente, F'F y C'C son paralelas. Combinando tenemos que E'E || F'F; pero estas dos rectas se intersectan en A así que no pueden ser paralelas, contradiciendo la suposición que hicimos de que ABCD no era paralelogramo.

Otra solución.

(i) Tenemos que los triángulos BPE y DPA son semejantes y su razón de semejanza es 1:2 (pues BP=¹/₂PD), así que BE=¹/₂AD=¹/₂BC, es decir, E es el punto medio de BC. Análogamente, F es el punto medio de CD.

(ii) Tenemos que Q es punto medio de PD y F es punto medio de CD, así que FQ || CP. De la misma manera tenemos que EP || CQ, por lo que APCQ es un paralelogramos, de donde sus diagonales se cortan en el punto medio O. Así BC || OF || AD y AB || OE || CD, es decir, ABCD es paralelogramo.

(iii) Sea O la intersección de BD y AC. Apliquemos Menelao en los triángulos BCO y DCO:

Entonces

Hagamos un ejemplo pensando que fueran 2⁴=16 casillas, en lugar de 2⁶=64 casillas, para analizar qué pasa con una potencia 2ⁿ de 2 cualquiera. Tenemos la siguiente tabla en la que indicamos con cuando una ficha ocupa el mismo lugar que la ficha #1.

Observamos que 8 (resp. 2^n-1) números tienen 1 coincidencia; 4 (resp. 2^n-2) números tienen 2 coincidencias; 2 (resp. 2^n-3) números tienen 4 coincidencias, y 1 (resp. 2^n-4) números tienen 8 coincidencias. En general, en el minuto 2ⁿ habrá habido nˇ2^n-1 coincidencias. (Formalmente: La ficha #k comparte la casilla r con la ficha #1 si y sólo si 2ⁿ|rk-r=r(k-1). Si 2^h es la máxima potencia de 2 que divide a k-1, entonces la menor r para la cual 2ⁿ|r(k-1) es 2^n-h, así que en el minuto 2ⁿ hay ²ⁿ/_2^n-h=2^h coincidencias de la ficha #k con la ficha #1.) Aplicando lo anterior a n=6, tenemos que en 64 minutos habrá 6ˇ2⁵=192 coincidencias. Después de 10 periodos de estos tendremos 1920 coincidencias, así que faltarán 76. Ahora, para ver en qué momento se completan las 76 que faltan, debemos sumar por columnas las coincidencias; observando que sólo puede haber coincidencias en casillas pares tenemos que los números de coincidencias por columnas son:

Hasta aquí se juntan 80, así que la ficha #1 estará en la casilla 32 cuando todos los focos queden prendidos. (Para ver las coincidencias por columnas formalmente, consideremos lo siguiente: Cuando la ficha #1 está en el lugar 2^ab, con b impar, el número de coincidencias es el número de elementos del conjunto {x | 1 < x 64, 2^abx2^ab (mod 2^6-a)}. Como la congruencia es equivalente a x 1 (mod 2^6-a), el número de coincidencias en esa casilla es de 2^a-1.)


Problema 3

Supongamos que sí es posible cubrir la cuadrícula de 6 x 6 con la propiedad mencionada. Primero observemos que, en este caso, cada línea interior vertical deberá estar atravesada por un número par de rectangulitos horizontales; para ver esto observemos que cada rectangulito vertical abarca dos cuadritos verticales y 6 es un número par, de tal suerte que entonces en la primera columna vertical habrá un numero par de rectángulos horizontales; pero entonces, en la segunda columna pasará lo mismo puesto que los rectángulos horizontales que cubren cuadritos en la primera columna abarcan un número par en esta segunda, así que los cuadritos que quedan en esta columna también son un número par, y así sucesivamente. Por la condición pedida en el problema, cada línea interior vertical estará atravesada entonces por al menos dos rectangulitos horizontales. Por la misma razón, cada línea interior horizontal estará atravesada por dos rectangulitos verticales. Sin embargo, el número total de líneas interiores es 10 (5 verticales y 5 horizontales) y cada uno de los 18 rectangulitos sólo puede atravesar una de ellas, así que no puede haber las 20 intersecciones que se dice arriba que debe haber. Entonces no es posible cubrir la cuadrícula como se estaba suponiendo.

Una forma para cubrir la cuadrícula de 6 x 5 con la condición pedida se muestra en la siguiente figura.

Supongamos que para cierta n 2 sí es posible llenar la cuadrícula como se pide y veamos cómo debe ser n. La mínima suma posible por renglones o columnas es 10(=1+2+3+4) y la máxima suma posible es 58(=13+14+15+16). Se necesitan 8 múltiplos distintos de n pues hay 4 filas y 4 columnas, pero 58-¹⁰/₈=6, así que n6 (por ejemplo, entre 10 y 58 no podemos encontrar 8 múltiplos distintos de 7 ya que entre 10 y 58 sólo hay 7 múltiplos de 7 que son: 14, 21, 28, 34, 42, 49 y 56).

Ahora observemos que la suma de todos los números del 1 al 16 es 136, así que este número también se obtiene sumando los 4 múltiplos de n que aparezcan por filas, de donde n no puede ser 3, 5 o 6 pues estos no son divisores de 136. Para ver que los casos n=2 y n=4 sí son posibles, consideremos, por ejemplo, los acomodos de las figuras, en donde el caso n=4 se obtuvo del caso n=2 intercambiando las posiciones de 4 y 6 y las de 12, 16 y 14 (estos últimos tres en forma cíclica).

Observemos primero que cada camino cruza exactamente una vez cada una de las diagonales que se muestran en la figura.

El mínimo valor de un número en cada diagonal está arriba a la derecha y el máximo está abajo a la izquierda, así que m se logra con el camino que va todo a la derecha hasta terminar el primer renglón y después hacia abajo por la última columna, y M se logra con el camino que primero va hacia abajo recorriendo toda la primera columna y después hacia la derecha por el último renglón. Así

Además observemos que sobre las diagonales en cuadritos juntos, la diferencia es de n-1.

Entonces M-m=(n-1)²(n-1)=(n-1)³ (pues en cada en la cuadrícula hay una diferencia de n-1 y hay (n-1)² 's.

Ahora, si buscamos una n y un camino en una cuadrícula de n x n que cumpla L()=1996, debemos tener m1996M. Pero m= [1+2+...+(n-1)]+ [n+2n+3n+...+n²]=^n(n-1)/ ₂+n x ( ^(n(n-1))/₂)+n²=^(n-1)n(n+1) /₂+n², y M=m+(n-1)³, como vimos arriba; entonces de m1996 obtenemos n15 y de M1996 obtenemos n12 (pues

para n=15 tenemos m = ^{(16 x15 x 14)}/₂ + 15² = 1905 < 1996,

para n=16 tenemos m = ^(17x16x15)/2 + 16² = 2296 > 1996,

para n=11 tenemos M = ^(12x11x10)/₂ + 11² + 10³ = 1781 1996 y

para n=12 tenemos M = ^(13x12x11)/₂ + 12² + 11³ = 2333 > 1996) .

Entonces los posibles valores para n son 12, 13, 14 y 15. Ahora recordemos que cualquier camino tiene diferencia un múltiplo de n-1 con el mínimo, así que debemos tener que 1996-m debe ser múltiplo de n-1. Calculemos entonces en cada caso 1996-m:

Si n=12, entonces m=1002 y 1996-m=994 que no es múltiplo de 11.

Si n=13, entonces m=1261 y 1996-m=735 que no es múltiplo de 12.

Si n=14, entonces m=1561 y 1996-m=435 que no es múltiplo de 13.

Si n=15, entonces m=1905 y 1996-m=91 que no es múltiplo de 14.

De los cálculos anteriores concluimos que no es posible encontrar un camino con L()=1996.


Problema 6

Observemos primero que ABB' = C'CA puesto que ambos son complementarios de BAC (ya que CC' es perpendicular a AB y BB' es perpendicular a AC). Entonces los triángulos ABB' y C'CA son iguales (por tener iguales dos lados y el ángulo comprendido entre ellos). Como dos lados correspondientes en estos triángulos son perpendiculares entre sí, entonces también lo es el tercero, es decir, B'AC'= 90^o. Por la misma razón, los triángulos BCC' y A'AB son iguales y C'BA' =90^o. Pero entonces A'BC' y C'AB' son triángulos rectángulos isósceles (A'B=BC' y C'A=AB'), de donde sus ángulos no rectos son de 45^o. Así A'C'B'= A'C'B + BC'A + AC'B'= 45^o+ 90^o+ 45^o=180^o, de donde A', C' y B' están alineados.