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Octava Olimpiada Nacional de Matemáticas
Guadalajara, Jalisco, noviembre de 1994
Primer Día
Problema 1.
La colección infinita de números 1, 2, 4,
5, 7, 9, 10, 12, 14, 16, 17,... se ha formado de la siguiente manera: Se
coloca primero el primer impar (1), luego los siguientes dos pares (2,4),
después los siguientes tres impares (5,7,9), luego los cuatro pares
siguientes al último impar que se colocó y así
sucesivamente. Encuentra el término de la secuencia más
cercano a 1994.
Problema 2.
Los doce números de un reloj se desprendieron y al colocarlos
nuevamente se cometieron algunos errores. Demuestre que en la nueva
colocación hay un número que al sumarle los dos
números que quedaron a sus lados se obtiene un resultado mayor o
igual a 21.
Problema 3.
Considere un paralelogramo ABCD (con AB paralela a CD
y BC paralela a DA), sobre la prolongación del lado
AB encuentre un punto E, de manera que BE = BC
(y con B entre A y E). Por E, trace una
perpendicular a la línea AB, ésta se
encontrará en un punto F con la línea que pasa por
C y es perpendicular a la diagonal BD. Muestre que AF
divide en dos ángulos iguales al ángulo DAB.
Segundo Día
Problema 4.
Un matemático caprichoso escribe un libro que tiene páginas
de la 2 a la 400 y que debe ser leído de la siguiente manera:
Primero deberán leerse todas las páginas cuyo número
no sea primo relativo con 400 (por suerte, éstas se leen en orden
normal de menor a mayor). Una vez leídas éstas, se toma el
último número de las que no se han leído (en este
caso 399) y entonces se leen todas las páginas cuyo número
no sea primo relativo con él y que no se hayan leído antes.
Este proceso (tomar el último número de las que no se han
leído y leer las páginas cuyo número no sea
primo relativo con él y que no se hayan leído antes)
continúa hasta terminar de leer el libro. ¿Cuál es el
número de la última página que se debe leer?
Problema 5.
Sea ABCD un cuadrilátero convexo (cada uno de sus
ángulos es menor que 180o) y considere los pies de las
alturas de los cuatro triángulos que se pueden formar con los
vértices A,B, C y D. Demuestre que no
importa que cuadrilátero convexo se tome, alguno de estos 12 puntos
se encuentra sobre un lado del cuadrilátero.
Problema 6.
Sea C una cuadrícula de 10 x 10. Considere piezas de
las siguientes formas:
donde en estas piezas, cada cuadrado es de 1 x 1. Demuestre que:
(i) C no se puede cubrir completamente con 25 piezas de la forma
(a),
(ii) C no se puede cubrir completamente con 25 piezas de la forma
(b),
(iii) C no se puede cubrir completamente con 25 piezas de la forma
(c).
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