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Tercera Olimpiada Nacional de Matemáticas
Metepec, Puebla, noviembre de 1989.
Primer Día
Problema 1.
Considere un triángulo ABC en el que la longitud
AB es
5, las
medianas por A y por B son perpendiculares entre sí y
el
área es 18. Halle las longitudes de los lados BC y
AC.
Problema 2.
Encuentre dos números enteros positivos a y b
tales
que,
b2 sea múltiplo de a,
a3 sea múltiplo de b2
b4 sea múltiplo de a3 y,
a5 sea múltiplo de b4,
pero b6 no sea múltiplo dea5.
Problema 3.
Pruebe que no existe un número entero positivo de
1989
cifras
que fenga al menos tres de ellas iguales a 5 y tal que la suma de todas
sus cifras sea igual al producto de las mismas.
Segundo Día
Problema 4.
Encuentre el entero positivo más pequeño
tal que
si su
expansión decimal es
n=amam-1...a2a1a0
y
si r es el número cuya expansión decimal es
r=a1a0amam-1...a20,
entonces r es el doble de n.
Problema 5.
Sean  1 y 1 dos círculos tangentes de radio 1
dentro de un círculo de radio 2. Sea 3 un círculo dentro de
tangente a cada uno de los círculos , 1, 2.
Demuestre que los centros de ,
1, 3 y
4 son los vértices de un rectángulo.
Problema 6.
Siguiendo las líneas de la figura,
¿cuántos
caminos
hay para ir del punto A al punto B que no pasen dos veces
por el mismo
punto y que sólo avancen hacia abajo y hacia los lados, pero no
hacia arriba?
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