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Primera Olimpiada Nacional de Matemáticas
Xalapa, Veracruz, noviembre de 1987
Primer Día
Problema 1.
Demuestre que si dos fracciones son irreducibles
(simplificadas) y su
suma es un entero, entonces ambas fracciones tienen el mismo denominador o
la suma de sus denominadores es 0.
Problema 2.
¿Cuántos enteros positivos dividen a 20!
(20!=1 x 2 x 3 x
... x 19 x 20)?
Problema 3.
Considere dos rectas paralelas l y l1. Un punto
fijo P que
dista lo mismo de l que de l1. ¿ Qué
lugar
geométrico describen los puntos M que son proyección
de P
sobre AB, donde A está en l,
B
está en l1 y el
ángulo APB es recto?
Problema 4.
Calcule el producto de todos los enteros positivos menores que 100, y
que tengan exactamente tres divisores positivos. Compruebe que dicho
número es un cuadrado perfecto.
Segundo Día
Problema 5.
Considere un triángulo rectángulo ABC donde la
hipotenusa
es BC. M es un punto en BC y P y Q son
las proyecciones de M sobre AB y
AC, respectivamente. Pruebe que para ninguno de tales puntos
M son iguales
las áreas del triángulo BPM, del triángulo
MQC y del
rectángulo AQMP.
Problema 6.
Demuestre que para cualquier entero positivo n, el número
(n3-n)(58n+4+34n+2) es un
múltiplo de 3,804.
Problema 7.
Demuestre que si n es un entero positivo, entonces es una
fracción irreducible (simplificada).
Problema 8.
(a) Tres rectas en el espacio l, m y n concurren en
el punto S y un
plano perpendicular a m corta a l, m y n en A,
B y C, respectivamente.
Suponga que los ángulos ASB y BSC son de 45
o y
que el
ángulo ABC es recto. Calcule el ángulo ASC.
(b) Si un plano perpendicular a l corta a l, m y
n en P, Q y R,
respectivamente y SP=1, calcule los lados del triángulo
PQR
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