Olimpiada Mexicana de Matemáticas en Internet Olimpiada Mexicana de Matemáticas en Internet Olimpiada Mexicana de Matemáticas en Internet
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Olimpiada Mexicana de Matemáticas en Internet


Primera Olimpiada Nacional de Matemáticas
Xalapa, Veracruz, noviembre de 1987




Primer Día


Problema 1.
Demuestre que si dos fracciones son irreducibles (simplificadas) y su suma es un entero, entonces ambas fracciones tienen el mismo denominador o la suma de sus denominadores es 0.

Problema 2.
¿Cuántos enteros positivos dividen a 20! (20!=1 x 2 x 3 x ... x 19 x 20)?

Problema 3.
Considere dos rectas paralelas l y l1. Un punto fijo P que dista lo mismo de l que de l1. ¿ Qué lugar geométrico describen los puntos M que son proyección de P sobre AB, donde A está en l, B está en l1 y el ángulo APB es recto?

Problema 4.
Calcule el producto de todos los enteros positivos menores que 100, y que tengan exactamente tres divisores positivos. Compruebe que dicho número es un cuadrado perfecto.


Segundo Día


Problema 5.
Considere un triángulo rectángulo ABC donde la hipotenusa es BC. M es un punto en BC y P y Q son las proyecciones de M sobre AB y AC, respectivamente. Pruebe que para ninguno de tales puntos M son iguales las áreas del triángulo BPM, del triángulo MQC y del rectángulo AQMP.

Problema 6.
Demuestre que para cualquier entero positivo n, el número (n3-n)(58n+4+34n+2) es un múltiplo de 3,804.

Problema 7.
Demuestre que si n es un entero positivo, entonces es una fracción irreducible (simplificada).

Problema 8.
(a) Tres rectas en el espacio l, m y n concurren en el punto S y un plano perpendicular a m corta a l, m y n en A, B y C, respectivamente. Suponga que los ángulos ASB y BSC son de 45 o y que el ángulo ABC es recto. Calcule el ángulo ASC.
(b) Si un plano perpendicular a l corta a l, m y n en P, Q y R, respectivamente y SP=1, calcule los lados del triángulo PQR