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Décima Tercera Olimpiada Nacional de
Matemáticas
Oaxaca, Oaxaca, noviembre de 1999
Primer Día
Problema 1.
Sobre una mesa hay 1999 fichas que son rojas de un lado y negras del
otro
(no se especifica cuál de sus dos lados está hacia arriba).
Dos personas juegan alternadamente. Cada persona en su turno hace una de
las siguientes cosas:
(i) Retira un número cualquiera de fichas, con la condición
de que todas las fichas retiradas tengan el mismo color hacia arriba,
(ii) Voltea un número cualquiera de fichas, con la condición
de que todas las fichas tengan el mismo color hacer arriba.
Gana el que toma la última ficha. ¿Cuál jugador puede
asegurar que ganará, el primero en jugar o el segundo?
Problema 2.
Demuestre que no existen 1,999 primos en progresión
aritmética todos ellos menores que 12,345.
Problema 3.
Considere un punto P en el interior de el triángulo
ABC. Sean
D, E y
F los puntos medios de AP, BP y CP,
respectivamente y L, M y N los puntos
de intersección de BF con CE, AF con CD
y AE con BD.
(i) Muestre que el área del hexágono DNELFM es igual
a una tercera parte del área del triángulo ABC.
(ii) Muestre que DL, EM y FN concurren.
Segundo Día
Problema 4.
En una cuadrícula de 8 x 8 se han escogido
arbitrariamente 10
cuadritos y se han marcado los centros de éstos. El lado de cada
cuadrito mide 1. Demuestre que existen al menos dos puntos marcados que
están separados por una distancia menos o igual que  , o que existe al menos un punto marcado que se encuentra
a una distancia de 1/2 de una orilla de la
cuadrícula.
Problema 5.
ABCD es un trapecio con AB paralelo a CD. Las
bisectrices exteriores
de
los ángulos B y C se intersectan en P. Las
bisectrices exteriores
de los ángulos A y D se intersectan en Q.
Demuestre que la longitud
de PQ es igual a la mitad del perímetro del trapecio
ABCD.
Problema 6.
Un polígono se dice que es ortigonal si todos sus lados tienen
longitudes enteras y cada dos lados consecutivos son perpendiculares.
Demuestre que si un polígono ortogonal puede cubrirse con
rectángulos de 2 x 1 (sin que éstos se traslapen),
entonces
al menos uno de sus lados tiene longitud par.
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