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Sexta Olimpiada Nacional de Matemáticas
La Trinidad, Tlaxcala, octubre de 1992
Primer Día
Problema 1.
Un tetraedro OPQR es tal que los ángulos POQ,
POR y QOR son rectos. Muestre que si X, Y,
Z son los puntos medios de PQ, QR y RP,
entonces el tetraedro OXYZ tiene sus cuatro caras iguales.
Problema 2.
Sea p un número primo, encuentre todas las
cuartetas (a,b,c,d) distintas con a,b,c y
d enteros y 0 a,b,c,dp-1 tales que ad-bc sea múltiplo
de p.
Problema 3.
Considere siete puntos dentro o sobre un hexágono
regular y pruebe que tres de ellos forman un triángulo cuya
área es menor o igual que 1/6 del área
del hexágono.
Segundo Día
Problema 4.
Muestre que 100 divide a 1 + 1111 +
111111 + ... + 11111111111111111111.
Problema 5.
Sean x, y, z números reales positivos tales
que x+y+z = 3.
Si  , pruebe que 6< S
3
Problema 6.
Sea ABCD un rectángulo. Sean I el punto medio de
CD y M la intersección de BI con la diagonal
AC.
(a) Pruebe que DM pasa por el punto medio de BC
(b) Sea E un punto exterior al rectángulo tal que ABE
sea un triángulo isósceles y rectángulo en E.
Además, supongamos que BC=BE=a. Pruebe que
ME es bisectriz del ángulo AMB,
(c) Calcule el área del cuadrilátero AEBM en
función de a.
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