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Cuarta Olimpiada Nacional de Matemáticas
Guanajuato, Guanajato, noviembre de 1990
Primer Día
Problema 1.
Encuentre el total de caminos que hay del punto A a la
línea l
en la red de la siguiente figura, si en un camino sólo está
permitido ir hacia la izquierda.
Problema 2.
Sea ABC un triángulo rectángulo con
angúlo
recto en B
y sea H el punto de intersección del lado AC y la
altura por
B.
Llamemos r, r1 y r2 a los
radios de las
circunferencias inscritas en los triángulo ABC, ABH y
HBC,
respectivamente. Encuentre una igualdad que relacione a r,
r1 y
r2.
Problema 3.
Pruebe que nn-1-1 es divisible entre
(n-1)2 para
todo entero n  2.
Segundo Día
Problema 4.
Considere las 27 fichas de dominó que quedan
quitando
la
blanca-blanca. Tomando en cuenta los puntos que hay en una ficha, a cada
ficha le corresponde un número racional menor o igual que uno.
¿Cuál es la suma de todos estos números?
Problema 5.
Si P1, P2, ..., P19 son 19 puntos del plano con
coordenadas
enteras,
tales que cada tres de ellos no son colineales, demuestre que hay tres de
ellos con la propiedad de que su baricentro (punto de intersección
de las medianas de un triángulo), también tiene coordenadas
enteras.
Problema 6.
Sea ABC un triángulo rectángulo con
ángulo recto
en C. Sea l cualquier línea que pase por B y
que
corte al
lado AC
en un punto E. Sean F el punto medio de EC, G
el punto medio de CB y H el
pie de la altura de C, en AB, en el triángulo
ABC. Si I
denota el circuncentro del triángulo AEH (punto de
intesección de las mediatrices de los lados), pruebe que los
triángulos IGF y ABC son semejantes.
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