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Segunda Olimpiada Nacional de Matemáticas
Hermosillo, Sonora, noviembre de 1988
Primer Día
Problema 1.
¿ De cuántas formas se pueden acomodar en
línea recta
siete pelotas blancas y cinco negras de tal forma que no estén dos
pelotas negras juntas?
Problema 2.
Si a y b son enteros positivos, pruebe que 19 divide a
11a+2b si y
sólo si 19 divide a 18a + 5b.
Problema 3.
Considere dos circunferencias tangentes exteriormente y
de
radios
distintos; sus tangentes comunes forman un triángulo. Calcule el
área de dicho triángulo en términos de los radios de
las circunferencias.
Problema 4.
¿De cuántas formas se pueden escoger ocho
enteros
a1, a2, ..., a8 no necesariamente
distintos, tales que 1  a1 a2 ... a8 8?
Segundo Día
Problema 5.
Si a y b son enteros positivos primos relativos y n es
un
entero,
pruebe que el máximo común divisor de
a2+b2-nab y a+b divide a n+2.
Problema 6.
Considere dos puntos fijos B y C de una circunferencia
 . Encuentre el lugar geométrico de las
intersecciones de las bisectrices de los triángulos ABC,
cuando A es
un punto que recorre C.
Problema 7.
Si A y B son subconjuntos ajenos del conjunto
{1,2,...,m-1,m} y la suma de los elementos de A es igual a
la suma de los elementos de B, pruebe que el número de
elementos de A y también de B es menor que  .
Problema 8.
Calcule el volumen de un octaedro que circunscribe a
una esfera de
radio uno.
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